Instrumentation

Marc Nicollerat

3 Messfehler

  • Was sind die Quellen von Fehlern?
  • Die Spezifikationen von Geräten verstehen
  • Fehler eines Systems berechnen

3.1 Zum Menü der Fehlerquellen

Häufige Fehlerquellen gibt es viele. Es geht darum, sie zu identifizieren. Einige mögliche Quellen sind in der Table 1 aufgelistet.

Table 1: Einige Fehlerquellen.
Parameter Beschreibung Parade
Offset Wenn die Messgröße Null ist, erscheint der Offset als Nicht-Null-Wert am Ausgang Er kann vor der Anwendung der Messgröße gemessen und bei Messungen subtrahiert werden
Genauigkeit Die angegebene Genauigkeit eines Sensors umfasst alle Fehler Auswahl des richtigen Sensors
Linearitätsfehler Dieser Fehler charakterisiert das Verhältnis zwischen Messgröße und Ausgabe, also die Verstärkung Man kann das Gerät mit einer bekannten Messgröße kalibrieren
Stabilität Die Stabilität stellt den Bereich dar, in dem die Ausgabe bei gleicher Messgröße variiert Diese Variation hängt mit Einflussfaktoren oder dem Messrauschen zusammen. Man kann mehrere Messungen vornehmen, um einen Mittelwert zu berechnen
Wiederholbarkeit Die Wiederholbarkeit ist die Differenz der Ausgabe für dieselbe Messgröße, die mehrmals angewendet wird Das Messverfahren kann die Wiederholbarkeit verbessern (man führt die Messungen immer auf die gleiche Weise durch)
Umgebung Die Umgebungsbedingungen (Temperatur) können die Messung beeinflussen Kontrollieren Sie die Umgebung
Erfassungskette Die Ausgabe des Sensors wird von einem Gerät (z. B. einem Voltmeter) gemessen Die Genauigkeit des Systems muss angepasst werden.

3.2 Linearität

Das für die Messung verwendete Prinzip hat nicht immer eine lineare Charakteristik. Dies muss vom Messgerät kompensiert werden.

\[ Y_{capteur} = a x^2 \implies Y_{sortie} = b \sqrt{Y_{Capteur}} \implies Y_{sortie} = b \sqrt{a} \cdot x \qquad(1)\]

Die Korrektur ist nie perfekt und kann Kalibrierungen erfordern. Ein Gerät kann ein Polynom der Art Equation 2 verwenden.

\[ T = T_0 \cdot \left( a0+a1*R+a2*R^2 \right) \qquad(2)\]

Die Parameter \(a_i\) müssen genau identifiziert werden, um den Fehler zu minimieren. Wenn ein Einfluss nicht modelliert wird, wird ein Fehler auftreten. Es wird ein Linearitätsfehler auftreten.

Figure 1: Mesure faussée par erreur de linéarité

3.3 Offset- und Verstärkungsfehler

Offset und Verstärkung beeinflussen die Kennlinie, wie die Figure 2

Figure 2: Mesure faussée par un offset et un gain
Figure 3: Mesure faussée par un offset
Figure 4: Mesure faussée par un gain imprécis

3.4 Beispiel für die Beeinflussung des Offsets oder der Verstärkung

Interferierende Größen sind Größen, die zur Messung hinzukommen. Wenn man den Aufbau eines Sensors analysiert und versteht, wie er funktioniert, kann man mögliche Störgrößen erkennen.

Beispiel der Wheatstone-Brücke. Die gemessene Größe \(U\) wird auf eine Weise beeinflusst…

  • additiv durch einen Fehler der Widerstände \(R\),
  • multiplikativ durch einen Fehler der Spannung \(U_0\)

Dehnungsmessstreifen gemessen durch eine 1/4 Brücke.

\[ \begin{align} R_{jauge}=R_0 + \Delta R \\ \sigma = \epsilon \cdot E \left[ \frac{N}{m^2} \right], \quad \Delta R = K \cdot R_0 \cdot \epsilon \left[\Omega \right] \\ \epsilon = \frac{dL}{L} \approx \frac{\Delta L}{L} [1], \quad U \cong - \frac{K \epsilon}{4} U_0 \left[V \right] \end{align} \]

Note

Beispiel für eine Entwicklung im jupyter-Notebook python/dev_2.1_erreur-add-mult.ipynb

3.5 Genauigkeit

Die möglichen Fehlerquellen eines Sensors sind auf der Figure 5

Figure 5: Verschiedene Messfehler

3.6 Drift

Während des Betriebs eines Geräts kann sich seine Kennlinie verändern, z. B. durch Erwärmung.

Figure 6: Drift aufgrund von Erwärmung

3.7 Treue, Richtigkeit und Präzision

Man kann ein Instrument nach seiner Richtigkeit und Treue bezeichnen. Ein Instrument, das richtig und treu ist, ist genau.

Treue Die Messungen ähneln sich, sind aber nicht unbedingt richtig
Richtigkeit Die Messungen sind präzise
Genauigkeit Die Messungen sind richtig und treu
Figure 7: Variantes de fidélité et justesse

3.8 Konstante, proportionale und kombinierte Genauigkeit

Figure 8: Précision combinée

Man hat die möglichen Kombinationen aus einem absoluten Fehler \(E_X=X-X_0\) und einem relativen Fehler \(\epsilon_X=E_X/X_0\).

3.9 Genauigkeitsklassen

Spezifikation der Genauigkeit von Messgeräten :

  • Basierend auf einem konstanten absoluten Fehler über den gesamten Messbereich.
  • Ausgedrückt in Bezug auf den Messbereich
  • Gängige Klassen: 0,1 - 0,2 - 0,5 - 1 - 1,5 - 2,5 - 5
  • Normen: IEC 60051 für elektrische Messungen, IEC 60751 für Temperaturmessungen usw.

Beispiel für eine Genauigkeitsklasse

3.10 Zufällige Fehlerverteilung

Fehlerverteilungen folgen sehr häufig einer Gaußschen Kurve. Die Gleichung ist gegeben durch :

\[ g(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}} \]

Die Figure 9 zeigt einige Spuren für die in der Tabelle angegebenen Werte.

Farbe \(\mu\) \(\sigma\)
blau 0.5 0.1
grün 0.7 0.3
magenta 0.8 0.05
Figure 9: Quelques gaussiennes

Note

Die Gauß-Verteilung ist ein Modell, das oft annähernd richtig ist.

Der Bereich der Messwerte der Gaußfunktion ist theoretisch unendlich groß.

In der Technik arbeiten wir oft mit einem Bereich von ±3σ um μ.

Sie ist nicht die einzige Verteilung, die es gibt, aber sie ermöglicht einfache analytische Berechnungen.

3.11 Andere Ursachen für Messfehler

  • Psychologische Faktoren
    • Lesewinkel
    • Müdigkeit
    • Ablesen eines instabilen Wertes
  • Zeit der Reaktion
    • Zu schnelles Ablesen
  • Nebensprechen (Crosstalk)
    • Ein Wiedergabekanal kann den anderen beeinflussen

Note

Mehrere Personen messen eine Längenangabe mit einem Doppelmeter.

3.12 Beispiel für eine Spezifikation

Beispiel für die Angaben zur Genauigkeit eines Drucksensors

Daten zur Genauigkeit für einen Drucksensor
Parameter Skala Grafik
Accuracy %FS NL
Zero Thermal error %FS offset
FS thermal error %FS gain(Temperature)
Stability %FS gain(time)

FS steht für Full Scale. Der Fehler ist abhängig vom maximalen Bereich des Sensors. Wenn man einen Sensor in einem kleineren Bereich verwendet, wird dieser Fehler erheblich.

3.13 Beispiel für die Spezifikation eines Präzisionsgeräts

Spezifikation des HP 3458, Präzisionsmultimeter

Spezifikation für die Spannungsmessung

3.14 Multivariables System

Eine Größe, die man indirekt messen möchte, hängt oft von mehreren anderen Größen ab. Dann haben wir ein multivariates System. Eine allgemeine Formulierung kann man mit der matrizischen Notation schreiben:

\[ \begin{align} Y=f(\mathbf X), \mathbf X=[x_1, x_2,..., x_n] \end{align} \]

Beispiele

  • der Durchfluss durch ein Loch in einem geschlossenen Behälter hängt von der Wasserhöhe und dem Luftdruck ab.
  • die Luftmasse, die vom Kolben eines Motors angesaugt wird, hängt vom Druck, der Temperatur und der Drehzahl des Motors ab.

3.15 Fehlerberechnung durch Operationen

Der Fehler eines Systems, das aus mehreren Variablen besteht, lässt sich anhand der Operationen berechnen, die mit dem Signal durchgeführt werden.

Operation Fehler Berechnung
\(C=A + B\) \(E_A, E_B, E_C\) \[ \begin{align} C + E_C=A \pm E_A+B \pm E_B= C \pm (E_A+E_B) \\ \implies E_C=E_A+E_B \end{align} \]
\(C=A - B\) \(E_A, E_B, E_C\) \[ \begin{align} C + E_C=A \pm E_A-(B \pm E_B)= C \pm (E_A+E_B) \\ \implies E_C=E_A+E_B \end{align} \]
\(C = A \cdot B\) \[ \begin{align} \epsilon_A=\frac{E_A}{A}, \epsilon_B=\frac{E_B}{B}, \\ \epsilon_C=\frac{E_C}{C} \end{align} \] \[ \begin{align} C+E_C = (A+E_A) \cdot (B+E_B) = A(1+\epsilon_A) \cdot B(1+\epsilon_B) = \\ (A \cdot B)(1 + \epsilon_A + \epsilon_B + \epsilon_A \epsilon_B) \cong C \cdot (1+\epsilon_A + \epsilon_B) \\ \implies E_C = C \cdot (\epsilon_A + \epsilon_B) \end{align} \]
\(C = A / B\) \[ \begin{align} \epsilon_A=\frac{E_A}{A}, \epsilon_B=\frac{E_B}{B}, \\ \epsilon_C=\frac{E_C}{C} \end{align}\] \[ \begin{align} C+E_C = (A+E_A)/(B+E_B) = \\ \frac{A}{B}\frac{1+\epsilon_A}{1+\epsilon_B} = \frac{A}{B}\frac{(1 + \epsilon_A) \cdot (1+\epsilon_B)}{1-\epsilon_B^2} \cong C(1+\epsilon_A + \epsilon_B) \\ \implies E_C = C \cdot (\epsilon_A + \epsilon_B) \end{align} \]

3.16 Fehlerberechnung durch Linearisierung

Da die Fehler klein sind, kann man um die nominalen Werte linearisieren.

Für eine Funktion \(Y=F(X_1, X_2,... X_N)=Y(\mathbf X)\), kann man schreiben :

\[ \begin{align} Y(\mathbf X)= \\ Y(\mathbf X_0) + \left\{ \left|\frac{\partial Y}{\partial X_1} \bigg \rvert_{\mathbf X_0} \cdot E_{X1} \right |+ \left|\frac{\partial Y}{\partial X_2} \bigg \rvert_{\mathbf X_0} \cdot E_{X2}\right | + ... + \left|\frac{\partial Y}{\partial X_N} \bigg \rvert_{\mathbf X_0} \cdot E_{X_N} \right | \right\} \\ = Y_0 \pm E_Y \end{align} \]

3.17 Übungen und Vertiefung

Übungen separates Blatt (cyberlearn)

  • 3.1 Genauigkeit eines Voltmeters
  • 3.2 Elektronischer Schaltkreis

Die Berechnungen werden im Dokument ex_3.2_erreur_diviseur_resistif_sol.ipynb vorgeschlagen.

Drift

Ein Instrument liefert eine Messung. Die Formung des Messwerts führt eine Verstärkung durch, die von einem Operationsverstärker übernommen wird, dessen Verstärkung durch zwei Widerstände definiert wird :

\[ g=R2/R1 \]

Die Widerstände ändern ihren Wert mit der Temperatur gemäß der Beziehung : \[ R_{temp} = R_{nom}(1 + α \cdot (T-T_a)), \text{ $R_{nom}$ est la valeur à température ambiante $T_a$} \]

Nach dem Einschalten heizt sich das Gerät auf, um sehr langsam eine Betriebstemperatur zu erreichen \(T_f\).

  • Wie hoch ist die Verstärkung, nachdem sich das Gerät aufgeheizt hat, wenn beide Widerstände denselben Koeffizienten \(\alpha\) von 100ppm haben?

  • Nach einer Reparatur wird der Widerstand R1 durch einen Präzisionswiderstand ersetzt, der nicht von der Temperatur beeinflusst wird (sehr niedriger Koeffizient \(\alpha\) ). Wie hoch ist die Verstärkung nach dem Aufwärmen?

siehe Dokument “Widerstand Vishay.pdf”.